Como calcular taxa de variação derivada
A derivada é um conceito fundamental do cálculo diferencial que representa a taxa de variação instantânea de uma função em relação a uma de suas variáveis. Por exemplo, se f(x) é a distância percorrida por um carro em função do tempo x, então a derivada f'(x) é a velocidade do carro no instante x.
Mas como podemos calcular a derivada de uma função? Existem duas formas principais: usando a definição formal de limite ou usando regras e fórmulas prontas.
Usando a definição formal de limite
A definição formal de limite é baseada na ideia de aproximar a taxa de variação instantânea por taxas de variação médias em intervalos cada vez menores. Por exemplo, se queremos calcular a derivada de f(x) = 2x + 1 no ponto x = 3, podemos usar a seguinte expressão:
f'(3) = lim h -> 0 (f(3 + h) – f(3)) / h
Substituindo f(x) = 2x + 1, temos:
f'(3) = lim h -> 0 ((2(3 + h) + 1) – (2(3) + 1)) / h
f'(3) = lim h -> 0 (6 + 2h + 1 – 7) / h
f'(3) = lim h -> 0 (2h) / h
f'(3) = lim h -> 0 2
f'(3) = 2
Ou seja, a derivada de f(x) = 2x + 1 no ponto x = 3 é igual a 2. Isso significa que a reta tangente à curva de f(x) nesse ponto tem coeficiente angular igual a 2.
Usando regras e fórmulas prontas
Usar a definição formal de limite para calcular derivadas pode ser trabalhoso e complicado para funções mais complexas. Por isso, existem regras e fórmulas prontas que facilitam esse cálculo. Por exemplo, se f(x) é uma função polinomial do tipo f(x) = ax^n, onde a e n são constantes, então sua derivada é dada por: f'(x) = n * ax^(n-1)
Essa é chamada de regra da potência. Usando essa regra, podemos calcular facilmente a derivada da função f(x) = 2x + 1 em qualquer ponto x, sem precisar usar o limite. Basta observar que f(x) pode ser escrita como f(x) = 2x^1 + 1x^0 e aplicar a regra da potência em cada termo:
f'(x) = (1 * 2x^(1-1)) + (0 * 1x^(-1))
f'(x) = 2x^0 + 0
f'(x) = 2
Ou seja, a derivada de f(x) = 2x + 1 é constante e igual a 2 para qualquer valor de x. Isso confirma o resultado que obtivemos usando o limite para o ponto x = 3.
Existem outras regras e fórmulas prontas para calcular derivadas de funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e outras. Além disso, existem regras para combinar derivadas de funções usando operações como soma, produto e quociente.
Usando uma calculadora de derivadas
Se você não quer fazer os cálculos à mão ou se quer verificar se o seu resultado está correto, você pode usar uma calculadora de derivadas online que faz todo o trabalho para você. Essa calculadora é uma ferramenta que recebe uma função e um ponto (ou uma variável) e retorna a derivada da função nesse ponto (ou a derivada geral em função da variável).
Por exemplo, se você digitar f(x) = 2x + 1 e x = 3 em uma calculadora de derivadas, ela vai retornar f'(3) = 2. Se você digitar apenas f(x) = 2x + 1, ela vai retornar f'(x) = 2. Ela também pode mostrar os passos intermediários do cálculo e o gráfico da função e de sua derivada.
